|
|
Evrende, Canlılarda ve Doğada Bir
Güzellik Ölçüsü
Altın
Oran Nedir?
..Eğer
uygulama veya işlev unsurları açısından hoşa giden ya da son derece
dengeli olan bir forma ulaşılmışsa, orada Altın Oran Sayı'sının bir
fonksiyonunu arayabiliriz... Altın Sayı, matematiksel hayal gücünün
değil de, denge yasalarına ilişkin doğal prensibin bir ürünüdür. Kısaca
biz altın orana "göz nizamının oranı" diyebiliriz.
Sanatçılar
bunun farkında olarak tarih boyunca bu özelliği akıllıca kullanıp göze
güzel görünen eserler meydana getirmişlerdir. Örneğin Mona Lisa
tablosunun boyunun enine oranı altın oranı verir. Mona Lisa'nın başının
etrafına bir dikdörtgen çizdiğinizde ortaya çıkan dört kenar bir altın
dikdörtgendir. Bu dikdörtgeni, göz hizasında çizeceğiniz bir çizgiyle
ikiye ayırdığınızda yine bir altın oran elde edersiniz. Resmin
boyutları da altın oran oluşturmaktadır.
M.Ö.
500’lü yıllarda yaşamış olan tüm zamanların en büyük
matematikçilerinden biri olan Pisagor (Pythagoras), altın oranla ilgili
aşağıdaki düşüncelerini dile getirmiştir:
"Bir
insanın tüm vücudu ile göbeğine kadar olan yüksekliğinin oranı, bir
pentagramın uzun ve kısa kenarlarının oranı, bir dikdörtgenin uzun ve
kısa kenarlarının oranı, hepsi aynıdır. Bunun sebebi nedir? Çünkü tüm
parçanın büyük parçaya oranı, büyük parçanın küçük parçaya oranına
eşittir."
Mısır'daki
piramitler, Leonardo da Vinci'nin Mona Lisa adlı tablosu, ay çiçeği,
salyangoz, çam kozalağı ve parmaklarınız arasındaki ortak özellik
nedir?
Bu
sorunun cevabı, Fibonacci isimli İtalyan matematikçinin bulduğu bir
dizi sayıda gizlidir. Fibonacci sayıları olarak da adlandırılan bu
sayıların özelliği, dizideki sayılardan her birinin, kendisinden önce
gelen iki sayının toplamından oluşmasıdır.
Fibonacci
Kimdir?
Orta
çağın en büyük matematikçilerinden biri olarak kabul edilen Fibonacci
İtalya'nın ünlü Pisa şehrinde doğmuştur. Çocukluğu babasının çalıştığı
Cezayir'de geçmiştir. İlk matematik eğitimini Müslüman bilim
adamlarından almış ve İslam aleminin kitaplarını incelemiş ve
çalışmıştır. Avrupa'da Roma rakamları kullanılırken ve sıfır kavramı
ortalarda yokken Leonardo Arap rakamlarını ve sıfırı öğrenmiştir.
1201
yılında "Liber Abacci" (cebir kitabı manasına gelir) adında bir
matematik kitabı yazmıştır. Bu kitapla Avrupa'ya Arap rakamlarını ve
bugün kullandığımız sayı sistemini tanıtmıştır. Bu kitapta, ilkokulda
öğrendiğimiz temel matematik ( toplama, çarpma, çıkartma ve bölme )
kurallarını bir çok örnek vererek anlatmıştır.
Fibonacci
Sayıları: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,
987, 1597, 2584,...
Fibonacci
sayılarının ilginç bir özelliği vardır. Dizideki bir sayıyı kendinden
önceki sayıya böldüğünüzde birbirine çok yakın sayılar elde edersiniz.
Hatta serideki 13. sırada yer alan sayıdan sonra bu sayı) sabitlenir.
İşte bu sayı 'altın oran' olarak adlandırılır.
ALTIN
ORAN = 1,618
233
/ 144 = 1,618
377
/ 233 = 1,618
610
/ 377 = 1,618
987
/ 610 = 1,618
1597
/ 987 = 1,618
2584
/ 1597 = 1,618
İnsan
Vücudu ve Altın Oran
Sanatçılar,
bilim adamları ve tasarımcılar, araştırmalarını yaparken ya da
ürünlerini ortaya koyarlarken orantıları altın orana göre belirlenmiş
insan bedenini ölçü olarak alırlar. Leonardo da Vinci ve Corbusier
tasarımlarını yaparken altın orana göre belirlenmiş insan vücudunu ölçü
almışlardır. Günümüz mimarlarının en önemli başvuru kitaplarından biri
olan Neufert'te de altın orana göre belirlenmiş insan vücudu temel
alınmaktadır.
İnsan
Bedeninde Altın Oran
Bedenin
çeşitli kısımları arasında var olduğu öne sürülen ve yaklaşık altın
oran değerlerine uyan 'ideal' orantı ilişkileri genel olarak bir şema
halinde gösterilebilir.
Aşağıdaki
şemada yer alan M/m oranı her zaman altın orana denktir: M/m=1,618
İnsan
vücudunda altın orana verilebilecek ilk örnek; göbek ile ayak
arasındaki mesafe 1 birim olarak kabul edildiğinde, insan boyunun
1,618'e denk gelmesidir. Bunun dışında vücudumuzda yer alan diğer bazı
altın oranlar şöyledir:
Parmak
ucu-dirsek arası / El bileği-dirsek arası,
Omuz
hizasından baş ucuna olan mesafe / Kafa boyu,
Göbek-baş
ucu arası mesafe / Omuz hizasından baş ucuna olan mesafe,
Göbek-diz
arası / Diz-ayak ucu arası.
İnsan
Elinde Altın Oran
Elinizin
işaret parmağınızın şekline bir bakın. Muhtemelen orada da altın orana
şahit olacaksınız.
Parmaklarımız
üç boğumludur. Parmağın tam boyunun İlk iki boğuma oranı altın oranı
verir (baş parmak dışındaki parmaklar için) . Ayrıca orta parmağın
serçe parmağına oranında da altın oran olduğunu fark edebilirsiniz.
2
eliniz var, iki elinizdeki parmaklar 3 bölümden oluşur. Her elinizde 5
parmak vardır ve bunlardan sadece 8'i altın orana göre boğumlanmıştır.
2, 3, 5 ve 8 fibonocci sayılarına uyar.
İnsan
Yüzünde Altın Oran
İnsan
yüzünde de birçok altın oran vardır. Ancak bunu elinize hemen bir
cetvel alıp insanların yüzünde ölçüler almayı denemeyin. Çünkü bu
oranlandırma, bilim adamları ve sanatkarların beraberce kabul ettikleri
'ideal bir insan yüzü' için geçerlidir.
Örneğin
üst çenedeki ön iki dişin enlerinin toplamının boylarına oranı altın
oranı verir. İlk dişin genişliğinin merkezden ikinci dişe oranı da
altın orana dayanır. Bunlar bir dişçinin dikkate alabileceği en ideal
oranlardır. Bunların dışında insan yüzünde yer alan diğer bazı altın
oranlar şöyledir:
Yüzün
boyu / Yüzün genişliği,
Dudak-
kaşların birleşim yeri arası / Burun boyu,
Yüzün
boyu / Çene ucu-kaşların birleşim yeri arası,
Ağız
boyu / Burun genişliği,
Burun
genişliği / Burun delikleri arası,
Göz
bebekleri arası / Kaşlar arası.
Akciğerlerdeki
Altın Oran
Amerikalı
fizikçi B. J. West ile doktor A. L. Goldberger, 1985-1987 yılları
arasında yürüttükleri araştırmalarında, akciğerlerin yapısındaki altın
oranının varlığını ortaya koydular. Akciğeri oluşturan bronş ağacının
bir özelliği, asimetrik olmasıdır. Örneğin, soluk borusu, biri uzun
(sol) ve diğeri de kısa (sağ) olmak üzere iki ana bronşa ayrılır. Ve bu
asimetrik bölünme, bronşların ardışık dallanmalarında da sürüp gider.
İşte bu bölünmelerin hepsinde kısa bronşun uzun bronşa olan oranının
yaklaşık olarak 1/ 1,618 değerini verdiği saptanmıştır.
Kalp
Atışlarında Altın Oran
Bu
kadarı da fazla demeyin! Kalp atışlarında bile altın oranı arayınca
bulmak mümkün.
Biraz
zorlama gibi gelse de ekg görüntüsünü bir kontrol edin.
Kalp
bu resme göre Phi sayısına göre atıyor başka bir ekg bulup denemesi
bedava.
Bu
altın orana fena alde kafayı takmış olan http://goldennumber.net
sitesinde daha pek çok örneğe rastlamak mümkün.
Mimaride
Altın Oran
Türk
mimarisi ve sanatı da altın orana ev sahipliği yapmıştır. Mimar
Sinan'ın da bir çok eserinde bu altın oran görülmektedir. Mesela
Süleymaniye ve Selimiye Camileri'nin minarelerinde bu oran
görülmektedir Türk mimarisi ve sanatı da altın orana ev sahipliği
yapmıştır: Konya'da Selçukluların inşa ettiği İnce Minareli medresenin
taç kapısı, İstanbul'daki Davut Paşa Camisi, Sivas'ta
Mengüçoğulları'dan günümüze miras kalan Divriği Külliyesi genel
planlarından kimi ayrıntılarına dek f ile iç içe bir görünüm sunar.
Eski
Yunanda da altın dikdörtgen bir çok sanat dalında kullanılmıştır.
Bunlardan bir tanesi de Atina'daki Partenon 'dur. Partenon İ.Ö. 430 ve
ya 440 yıllarında Athena adlı tanrıça için yapılmıştır. Tapınağın
orijinal planları elimizde olmasa da , tapınağın uzunluğu genişliğinin
kök 5 katı olan bir dikdörtgen üzerine inşa edildiği gözükmektedir.
Ayrıca aşağıdaki resimlerde görebileceğiniz gibi tapınakta daha başka
altın dikdörtgenlerde göze çarpmaktadır (altın dikdörtgen kenarları
oranı altın oran olan dikdörtgenlerdir).
Altın
oran sadece Yunanlılar tarafından kullanılmamıştır. Mısır'daki Keops
piramidinde, Paris'in ünlü Notre Dame Katedralinde altın oranın
izlerini görmek mümkündür.
Altın
Dikdörtgen ve Sarmallardaki Altın Oran
Kenarlarının
oranı altın orana eşit olan bir dikdörtgene 'altın dikdörtgen' denir.
Uzun kenarı 1,618 birim kısa kenarı 1 birim olan bir dikdörtgen altın
dikdörtgendir. Bu dikdörtgenin kısa kenarının tamamını kenar kabul eden
bir kare ve hemen ardından karenin iki köşesi arasında bir çeyrek
çember çizelim. Kare çizildikten sonra yanda kalan küçük bir kare ve
çeyrek çember çizip bunu asıl dikdörtgenin içinde kalan tüm
dikdörtgenler için yapalım. Bunu yaptığınızda karşınıza bir sarmal
çıkacaktır.
İngiliz
estetikçi William Charlton insanların sarmalları hoş bulmaları ve
binlerce yıl öncesinden beri kullanmalarını 'Sarmallardan hoşlanırız
çünkü, sarmalları görsel olarak kolayca izleyebiliriz.' diyerek
açıklar.
Temelinde
altın oranı yatan sarmallar doğada şahit olabileceğiniz en eşsiz
tasarımları da barındırırlar. Ayçiçeği ya da kozalak üzerindeki sarmal
dizilimler bu konuda verilebilecek ilk örneklerdir. Bunun sarmaldaki
yayların daima aynı biçimde olması ve yayların büyüklüğünün değişmesine
karşın esas şeklin (sarmal) hiç değişmemesidir. Matematikte bu özelliğe
sahip başka bir şekil yoktur.
Çiçeklerde
Altın Oran
Ayçiçeği'nin
merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru tane
sayılarının birbirine oranı altın oranı verir.
Çam
Kozalağında Altın Oran
Çam
kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın
tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler)
oluşturarak çıkarlar. İşte bu eğrinin eğrilik açısı altın orandır.
Deniz
Kabuklarındaki Tasarım ve Altın Oran
Bilim
adamları deniz dibinde yaşayan ve yumuşakça olarak sınıflandırılan
canlıların taşıdıkları kabukların yapısını incelerken bunların formu,
iç ve dış yüzeylerinin yapısı dikkatlerini çekmiştir:
'İç
yüzey pürüzsüz, dış yüzeyde yivliydi. Yumuşakça kabuğun içindeydi ve
kabukların iç yüzeyi pürüzsüz olmalıydı. Kabuğun dış köşeleri
kabukların sertliğini artırıyor ve böylelikle, gücünü yükseltiyordu.
Kabuk formları yaratılışlarında kullanılan mükemmellik ve faydalarıyla
hayrete düşürür. Kabuklardaki spiral fikir mükemmel geometrik formda ve
şaşırtıcı güzellikteki 'bilenmiş' tasarımda ifade edilmiştir.'
Biyolog
Sir D'Arcy Thompson uzmanı olduğu bu tür büyümeyi 'Gnom tarzı büyüme'
olarak adlandırılmıştı. Thompson'ın bu konudaki ifadeleri şöyledir:
'Bir
deniz kabuğunun büyüme sürecinde, aynı ve değişmez orantılara bağlı
olarak genişlemesi ve uzamasından daha sade bir sistem düşünemeyiz.
Kabuk...giderek büyür, fakat şeklini değiştirmez.'
Birkaç
santimetre çapındaki bir nautilusta, gnom tarzı büyümenin en güzel
örneklerinden birini görmek mümkündür. C. Morrison insan zekası ile
bile planlaması hayli güç olan bu büyüme sürecini şöyle anlatır:
'Nautilus'un
kabuğunun içinde, sedef duvarlar ile örülmüş bir sürü odacığın
oluşturduğu içsel bir sarmal uzanır. Hayvan büyüdükçe, sarmal kabuğunun
ağız kısmında, bir öncekinden daha büyük bir odacık inşa eder ve
arkasındaki kapıyı bir sedef tabakası ile örterek daha geniş olan bu
yeni bölüme ilerler.'
Kabuklarındaki
farklı büyüme oranlarını içeren logaritmik sarmallara göre diğer deniz
canlıları bilimsel adlarıyla şöyle sıralanabilir:
Haliotis
Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa,
Solarium Trochleare.
Bugün
fosil halinde bulunan ve Amonitlerde logaritmik sarmal şeklinde gelişen
kabuklar taşırlar.
Hayvanlar
dünyasında sarmal formda büyüme sadece yumuşakçaların kabukları ile
sınırlı değildir. Özellikle Antilop, yaban keçisi, koç gibi hayvanların
boynuzları gelişimlerini temelini altın oran dan alan sarmallar
şeklinde tamamlarlar.
İşitme
ve Denge Organında Altın Oran
İnsanın
iç kulağında yer alan Cochlea (Salyangoz) ses titreşimlerini aktarma
işlevini görür. İçi sıvı dolu olan bu kemiksi yapı, içinde altın oran
barındıran _=73 derece 43´ sabit açılı logaritmik sarmal formundadır.
Sarmal
Formda Gelişen Boynuzlar ve Dişlerde Altın Oran
Filler
ile soyu tükenen mamutların dişleri, aslanların tırnakları ve
papağanların gagalarında logaritmik sarmal kökenli yay parçalarına göre
biçimlenmiş örneklere rastlanır. Eperia örümceği de ağını daima
logaritmik sarmal şeklinde örer. Mikroorganizmalardan planktonlar
arasında, globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae ve
trochida gibi minicik canlıların hepsinin sarmala göre inşa edilmiş
bedenleri vardır.
Mikrodünyada
Altın Oran
Geometrik
şekiller sadece üçgen, kare veya beşgen, altıgen ile kısıtlı değildir.
Bu saydığımız şekiller değişik şekillerde de biraraya gelerek yeni üç
boyutlu geometrik şekiller oluşturabilirler. Bu konuda ilk olarak küp
ve piramit örnek olarak verilebilir. Ancak bunların dışında, günlük
hayatta hiç karşılaşmadığımız hatta ismini dahi ilk defa duyduğumuz
tetrahedron (düzgün dört yüzlü), oktahedron, dodekahedron ve
ikosahedron gibi üç boyutlu şekillerde vardır. Dodekahadron 13 tane
beşgenden, ikosahedron ise 20 adet üçgenden oluşur. Bilim adamları bu
şekilleri matematiksel olarak birbirine dönüşebileceğini ve bu
dönüşümün altın orana bağlı oranlarla gerçekleştiğini bulmuşlardır.
Miroorganizmalarda
altın oran barındıran üç boyutlu formlar oldukça yaygındır. Birçok
virüs ikosahedron yapısında bir biçime sahiptir. Bunların en ünlüsü
Adeno virüsüdür. Adeno virüsünün protein kılıfı, 252 adet protein alt
biriminin düzenli bir biçimde dizilmesi ile oluşur. İkosahedronun
köşelerinde yer alan 12 alt birim ise beşgen prizmalar biçimdedir. Bu
köşelerden diken benzeri yapılar uzanır.
Virüslerin
altın oranları bünyesinde barındıran formlarda olduğunu tespit eden ilk
kişi 1950'li yıllarda Londra'daki Birkbeck Koleji'nden A. Klug ile D.
Caspar'dır.13 Üzerinde ilk tespit yapılan virüs ise Polyo virüsüdür.
Rhino 14 virüsü de Polyo virüsü ile aynı formu gösterir.
Peki
acaba virüsler neden biz insanların zihnimizde canlandırmasını bile
zorlukla yapabildiğimiz, böyle altın orana dayalı özel bir formlara
sahiptirler? Bu formların kaşifi A. Klug bu konuyu şöyle açıklıyor:
'Caspar
ile ben, küresel bir virüs kılıfı için optimum tasarımın ikosahedron
tarzı bir simetriye dayandığını gösterdik. Böyle bir düzenleme
bağlantılardaki sayıyı en aza indirir... Buckminster Fuller'in yarı
küresel jeodezik kubbelerinden çoğu da benzer bir geometriye göre inşa
edilirler. Bu kubbelerin oldukça ayrıntılı bir şemaya uyularak monte
edilmeleri gerekir. Halbuki virüs, bir virüs kılıfı, alt birimlerinin
esnekliğinden ötürü kendi kendini inşa eder.'
Klug'un
bu açıklaması çok açık bir gerçeği bir kez daha ortaya koymaktadır.
Bilim adamlarının 'en basit ve en küçük canlı parçalarından biri'
olarak gördükleri virüslerde bile hassas bir planlama ve akıllı bir
tasarım vardır. Bu tasarım, dünyanın önde gelen mimarlarından
Buckminster Fuller'ın gerçekleştirdiği tasarımlardan çok daha başarılı
ve üstündür.
Dodekahedron
ile ikosahedron, tek hücreli deniz yaratıkları olan ışınlıların
silisten yapılma iskeletlerinde de ortaya çıkar.
Işınlılar
(radiolaria) , her köşesinden birer yalancı ayak çıkan düzgün
Dodekahedron gibi, bu iki geometrik formdan kaynaklanan yapıları,
yüzeylerindeki çok çeşitli oluşumlarla birlikte değişik güzellikteki
bedenleri oluştururlar.
Büyüklükleri
bir milimetreden daha küçük olan bu organizmalara örnek olarak,
ikosahedron yapılı Circigonia Icosahedra ile dodekahedran iskeletli
Circorhegma Dodecahedra'nın adları verilebilir.
DNA'da
Altın Oran
Canlıların
tüm fiziksel özelliklerinin depolandığı molekül de altın orana
dayandırılmış bir formda yaratılmıştır. yaşam için program olan DNA
molekülü altın orana dayanmıştır. DNA düşey doğrultuda iç içe açılmış
iki sarmaldan oluşur. Bu sarmallarda her birinin bütün yuvarlağı
içindeki uzunluk 34 angström genişliği 21 angström'dür. (1 angström;
santimetrenin yüz milyonda biridir) 21 ve 34 art arda gelen iki
Fibonacci sayısıdır.
Kar
Kristallerinde Altın Oran
Altın
oran kristal yapılarda da kendini gösterir. Bunların çoğu gözümüzle
göremeyeceğimiz kadar küçük yapıların içindedir. Ancak kar kristali
üzerindeki altın oranı gözlerinizle göre bilirsiniz. Kar kristalini
oluşturan kısalı uzunlu dallanmalarda, çeşitli uzantıların oranı hep
altın oranı verir.
Uzayda
Altın Oran
Evrende,
yapısında altın oran barındıran birçok spiral galaksi bulunur.
Fizikte
de Altın Oran....
Fibonacci
dizileri ve altın oran ile fizik biliminin sahasına giren konularda da
karşılaşırız:
Birbiriyle
temas halinde olan iki cam tabakasının üzerine bir ışık tutulduğunda,
ışığın bir kısmı öte yana geçer, bir kısmı soğurulur, geriye kalanı da
yansır. Meydana gelen, bir, 'çoklu yansıma' olayıdır. Işının tekrar
ortaya çıkmadan önce camın içinde izlediği yolların sayısı, ışının
maruz kaldığı yansımaların sayısına bağlıdır. Sonuçta, tekrar ortaya
çıkan ışın sayılarını belirlediğimizde bunların Fibonacci sayılarına
uygun olduğunu anlarız.
Doğada
birbiriyle ilişkisiz canlı veya cansız pek çok yapının belli bir
matematik formülüne göre şekillenmiş olması onların özel olarak
tasarlanmış olduklarının en açık delillerinden biridir. Altın oran,
sanatçıların çok iyi bildikleri ve uyguladıkları bir estetik kuralıdır.
Bu orana bağlı kalarak üretilen sanat eserleri estetik mükemmelliği
temsil ederler.
Altın
Oran (golden ratio, the golden ve divine proportion olarak da bilinen
golden section) , fibonacci sayılarına ait bir özelliktir. Sanatta,
doğa da hatta yaşayan organizmalar da bile görünen bu muhteşem düzen
çoğu kişi tarafından yüce bir Yaratıcı'nın varlığının ispatı olduğunu
düşünürler. Genel olarak anlamı: ''Dizideki bir sayıyı kendinden önceki
sayıya böldüğünüzde birbirine çok yakın sayılar elde edersiniz. Hatta
serideki 13. sırada yer alan sayıdan sonra bu sayı sabitlenir. İşte bu
sayı 'altın oran' olarak adlandırılır''
Bildiğimiz
Pi sayısı gibi belli bir sıradan sonra yani 13. sıradan sonra
sabbitleşen Altın oran 1,618... eşittir. Yunanca alfabesinden gelen PHi
ile sembol edilir.
Phi
= (1 + sqrt{5}) / 2 ya da (Sqrt(5) +1) /2 = 1.618033988749895 yani
Phi^-1 = Phi-1 olarak da bilinir.
*Sgrt(5)
derken 5'in kökü anlamına gelir
Tabi
bu sayfada şekillerle ya da sembollerle gösteremediğimden basitçe
açıklamaya çalışayım...
Matemetik
derslerinizden de belki hatırlarsınız...
Mesela
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...
sayı dizisinden yola çıkarsak, bir beşgenden bir çizgi alalım.
x---y---z
böylece
yz/xy = Altın oran(1,618....) = xz/yz
Yukardaki
sayı dizinde de göreceksiniz ki hangi sayıyı alırsanız alın genel
anlamından yola çıkarak hep Altın oranı bulursunuz. Mesela 144 alalım,
144'den önce 89 gelir, toplarsak 233 eder demek ki 233/144=1,618..
varır... aynı şekilde devam edersek 233'e önce ki sayı olan 144
eklememiz lazım o da 377 eder yani 377'den önce ki sayı olan 233
bölersek 377/233=1,618 çıkar böyle devam devam edersek
233
/ 144 = 377 / 233 = 610 / 377 = 987 / 610 = 1597 / 987 = 2584 / 1597
=.... xz/yz=yz/xy= 1,618.... elde ederiz.
KAYNAKLAR
--------------
http://www.metu.edu.tr/~e115152/project/index.htm
http://mimoza.marmara.edu.tr/~fucar/fucar/altinoran.htm
http://www.bilist.8m.com/alto.htm
http://matlab.s5.com/altin%20oran.htm
http://www.hardwaremania.com/forum/showthread.php?t=13957
http://www.antoloji.com/nedir/g.asp?terim=2462
http://www.matematikdosyasi.com/netmatematik.php?id=6
http://proje.bitek-o.org/G31224A440/Leonardo_ve_Altin_Oran.htm
http://www.world-mysteries.com/
http://www.mathwright.com/
http://techcenter.davidson.k12.nc.us/
http://goldennumber.net/
http://www.siportal.it/
http://proje.bitek-o.org/
|
|
|