• Opsiyon fiyatlama modeli finans/iktisat teorilerinin en başarılı Örneklerinden birisidir.

• Black-Scholes (BS) opsiyon fiyatlama modeli Avrupa tipi opsiyonların fiyatlarının analitik olarak hesaplanmasını sağlar.

• Risksiz bir getiriye sahip enstrümana yatırım yapma olanağınızı içerir.

• Opsiyonun fiyatının yalnızca dayanak varlığın fiyatının volatilitesine bağlı olduğunu gösterir.

• Arbitraj olanağı yok,
  
• İşlem maliyeti yok,
  
• Risksiz faizden istenildiği kadar borçlanılabilir,
  
• İşlemler sürekli olarak yapılmakta (kesikli değil),
• Dayanak varlık riskli, istenildiği kadar alınabilir/satılabilir,
  
• Volatilite zaman içinde sabit,
  
• Notasyon: risksiz faiz: \(r\), uygulama fiyatı: \(K\), volatilite: \(\sigma\), vade: \(T\), dayanak varlık fiyatı: \(S_t\)

• Sürekli bileşik getiri normal dağılıma sahip;

\(R_{0,t}=ln(\frac{S_t}{S_0}) \sim N\big(\mu - \frac{ \sigma^2}{2}\Delta t, \sigma^2 \Delta t \big)\)

• \(\mu\), dayanak varlığın zamanla değişim hızı (drift),
  
• \(\sigma\) dayanak varlığın fiyatının volatilitesi,
  
• \(S_t\) dayanak varlığın fiyatı log-normal dağılıma sahip,
  
• \(\Delta\) küçük bir değişimi ifade ediyor,

• Varsayımlar tutarlı mı?
  
• Sürekli işlem, risksiz faizden istenildiği kadar borçlanılabilme, işlem maliyetinin olmaması piyasa ile uyumlu değil ancak yine de yaklaşık olarak kabul edilebilir (en azından büyük işlem yapanlar için)
  
• Dağılımsal varsayımlar? Özellikle sürekli bileşik olarak dayanak varlık fiyat getirisinin normal dağılıma sahip olması?
  
• En azından endekslerde bakma şansımız var.

Grafik S&P500 endeksinin günlük sürekli bileşik getirilerini göstermektedir. İlk gözlem, volatilitenin sabit olmadığıdır.

Grafik S&P500 endeksinin günlük verilerini göstermektedir.

Grafik S&P500 endeksinin günlük verilerinin sürekli bileşik getirisinin histogramını göstermektedir.

Grafik BIST 100 endeksinin günlük sürekli bileşik getirilerini göstermektedir. Aynı şekilde, volatilitenin sabit olmadığı görülmektedir.

Grafik BIST100 endeksinin günlük verilerini göstermektedir.

Grafik S&P500 endeksinin günlük verilerinin sürekli bileşik getirisinin histogramını göstermektedir.

• Hisseler genelde büyük negatif değişimlere, normalden daha yüksek tepelere ve şişman kuyruklara sahiptirler.
  
• Endekslerde büyük negatif değişimler daha az görünse de diğer özellikler yine belirgindir.
  
• Çarpıklık (skewness) negatif (BIST100: -0.2185 ve S&P 500: -0.3127) ve basıklık (kurtosis, normal dağılımda 3 olmalı) yüksek, (BIST100: 6.944 ve S&P 500: 12.4857)
  
• Volatilite kümeleri var (Koşullu Heteroskedastisite)

S&P500 ve BIST100 endekslerine daha detaylı bakmak için,

S&P 500 ve BIST 100

• BS opsiyon fiyatlama modeli için öncelikle biraz Stokastik Differansiyel Denklemler (SDE) ve Ito's Lemma konusuna bakılmalı.
  
• Brownian Hareket, Wiener sürecinin bir özel halidir.
  Genelleştirilmiş hali,
  \(dS=\mu(S,t)dt+\sigma(S,t)dw\)
  \(dS\): Fiyattaki küçük değişim,
  \(\mu(S,t)\) Fiyattaki küçük değişimin zamanla değişen beklenen değişimi (drift),

\(\sigma(S,t)\) Fiyattaki küçük değişimin zamanla değişen varyansı (volatilite, diffusion), \(w\): Standart Brownian hareket,\(w(0)=0\), \(w(t+dt)-w(t)=dw \sim N(0,dt)\), yani beklenen değeri sıfır ve varyansı \(dt\) olan rassal harekettir. SP 500 getiri serisinin volatilitesi 2008-09-03 tarihinde değişmiş gibi görünüyor.

tekrar hatırlarsak,
\(dS=\mu(S,t)dt+\sigma(S,t)dw\) ve geometrik Brownian hareket,
\(dS=\mu \times S \times dt+\sigma \times S \times dw\)
Örneğimizde kullandığımız S&P 500 için \(\mu=\) 0.000251 ve \(\sigma=\) 0.1011509 olarak tahmin edilmiştir. Aynı şekilde, ABD doları bazlı BIST100 serisi için, \(\mu=\) 0.000251 ve \(\sigma=\) 0.1011509 olarak tahmin edilmiştir.

Dayanak Varlık, \(S\), aşağıdaki özelliklere sahip stokastik sürece sahip olsun,
\(\frac{\Delta S}{S} \sim N(\mu \Delta t, \sigma^2 \Delta t)\)
yani, kısa bir süre içinde, beklenen değer, \(\mu \times \Delta t\) ve volabilite, \(\sigma \times sqrt{\Delta t}\) olarak yazılabilir. Burada,
\(\mu\) yıllık beklenen getiri ve \(\sigma\) yıllık beklenen volatilitedir.

Günlük, haftalık veya aylık getiri ve volatilite ise basitçe,

\(dS=\mu \times S \times dt+\sigma \times S \times dw\)
\(\frac{dS}{S} =\mu \times dt+\sigma \times dw\)
Ito'nun lemması bu gibi durumlarda, \(F(S,t)\) fonksiyonlarının türevinin (integralinin) hesaplanması için gereken matematiksel yaklaşımdır. Ito'nun lemması kısaca aşağıdaki gibi yazılabilir,
\(dF(S,t)=F_S\times dS + F_t \times dt + \frac{1}{2} F_{SS} \sigma^2 \times S^2 \times dt\)
\(F_t = \frac {\partial F}{\partial t}\), \(F_s = \frac {\partial F}{\partial s}\) ve \(F_{SS} = \frac {\partial^2 F}{\partial S^2}\)

\(dS\) yerine konulursa,
\(dF(S,t)=F_S(\mu S dt+\sigma S dw) + F_t dt + \frac{1}{2} F_{SS} \sigma^2 dt\),

\(dF(S,t)=\{F_S \mu S + F_t + \frac{1}{2} F_{SS} \sigma^2 S^2 \}dt +F_S \sigma S dw\),

\(F_t=0\) olduğundan türev şu şekilde yazılabilir,

\(dF(S,t)=\{F_S \mu S + \frac{1}{2} F_{SS} \sigma^2 S^2 \}dt + F_S \sigma S dw\)

Risksiz portföy olarak,
\(\Pi=\Delta \times S -c\),
\(S\) dayanak varlık ve \(c\) call opsiyonu. Bu portföyün küçük değişimi,
\(d\Pi=\Delta dS - dc\), ve \(c=f(S,t)\) olduğuna göre,
\(=\Delta (\mu S dt+\sigma S dw) - \Big(\{c_S \mu S + C_t +\frac{1}{2} c_{SS} \sigma^2 S^2 \}dt + c_S \sigma S dw \Big)\),
Eğer \(\Delta = c_S\) olarak seçilirse denklem şu şekilde yazılabilir,

\(d\Pi=\Big(- c_t - \frac{1}{2} c_{SS} \sigma^2 S^2 \Big)dt\),

Bu durumda rassal bir bileşeni olmadığından portföy risksizdir. Etkin piyasalarda risksiz bir portföy ancak risksiz bir getiriye sahip olacaktır. Bu durumda risksiz getiriye sahip portföyün zaman fonksiyonu,

\(\Pi=\Pi \times e^{\displaystyle r \times t}\)
\(\frac{d\Pi}{dt} =\Pi \times r \times e^{\displaystyle r \times t} \implies d\Pi=r \Pi dt\)
Denklemleri eşitlersek,
\((- c_t - \frac{1}{2} c_{SS} \sigma^2 S^2)dt = r \Pi dt\),
\(\implies \frac{\partial c}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 c}{\partial S^2} \sigma^2 S^2 - r \frac{\partial c}{\partial S} S - r c = 0\),
Bu denklem Black-Scholes denklemi olarak da bilinir.

Bu kısmi differansiyel denklemin (partial differential equation) çözümü call opsiyonunun fiyat denklemidir, \(c(S,t)\).

\[\begin{align} c(S, t) = N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 = \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 = \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ = d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \end{align}\]

put-call paritesi kullanılarak put opsiyonu için de fiyat fonksiyonu,

\(p(S, t) = Ke^{-r(T - t)} - S + C(S, t)\)
\(= N(-d_2) Ke^{-r(T - t)} - N(-d_1) S\)

\(d_1 = \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right]\)
\(d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T - t}\)
olarak verilebilir. Burada, \(N(.)\) kümülatif normal dağılım, \(S\) dayanak varlığın spot fiyat, \(K\) uygulama fiyatı, \(T-t\) vadeye kalan süre, \(\sigma\) dayanak varlığın fiyatının volatilitesi, \(r\) risksiz faizdir.

Call (put) opsiyonu fiyat fonksiyonu, spot fiyat, uygulama fiyatı, vade, risksiz faiz ile gözlemlenmesi zor olan volatiliteye bağlıdır. Diğer değişkenler ya opsiyonun bir belirlenmiş parametresi ya da gözlemlenen değişkendir. Piyasalarda gözlemlenen call opsiyonu fiyatlarından dayanak varlığın fiyat volatilitesinin tahmini yapılabilir. Buna Zımni (implied) volatilite denmektedir.

\(c(\sigma, ..) - c^*=0\) (\(p(\sigma, ..) - p^*=0\)), \(c^*\): piyasada oluşan call opsiyonu fiyatı, bir kök bulma problemidir ve daha önceki derslerde üzerinde durulan Newton yöntemi ile çözülebilir.

Piyasalarda oluşan opsiyon fiyatları zaman içinde dalgalanmaktadır. Bu da doğal olarak implied volatilitelerin dalgalanmasına ve zaman içinde değişmesine yol açmaktadır. Bu yüzden farklı volatilite enstrümanları da piyasaya sunulmaktadır. Örneğin VIX endeksi S&P 500 endeksinin Chicago Board Options Exchange Market Volatility Index kodudur.
Volatilite endeksleri zaman zaman korku endeksleri ve/veya piyasadaki tarafların anlaşmazlıkta olduğunu ifade eden ölçümlerdir. Benzer olarak, NASDAQ ve diğer endeksler için de volatilite enstrümanları bulunmaktadır.

Volatilite eğrisi (volatility smile) impled volatilitenin uygulama fiyatı ile ilişkisinde gözlemlenen paterndir. Aynı vade için uygulama fiyatı spot varlık fiyatından önemli bir farka sahip olan (ya çok küçük ya da çok büyük) opsiyonların fiyatları ve dolayısı ile volatiliteleri teorik olarak beklenen değerlerinden yüksek olmaktadır.